Модель экономически выгодных размеров заказываемых партий

Рассмотрим работу склада, на котором хранятся товарные запасы, расходуемые на снабжение потребителей. Работа реального склада сопровождается множеством отклонений от идеального режима: заказана партия одного объема, а прибыла партия другого; по плану партия должна прибыть через две недели, а она пришла через десять дней; при норме разгрузки одни сутки разгрузка партии длилась трое суток и т.д. Учесть все эти отклонения практически невозможно, поэтому при моделировании работы склада обычно делаются следующие предположения:

1. скорость расходования запасов со склада является постоянной величиной, которую обозначим через М (единиц товарных запасов в единицу времени). В соответствии с этим график изменения величины запасов в части расходования является отрезком прямой;
2. объем партии (Q) пополнения есть постоянная величина, так что система управления запасами является системой с фиксированным размером заказа;
3. время разгрузки прибывшей партии пополнения запасов мало, будем считать его равным нулю;
4. время от принятия решения о пополнении до прихода заказанной партии есть постоянная величина (At). Если нужно, чтобы она пришла точно в определенный момент, то ее следует заказать в момент времени на At ранее;
5. на складе не происходит систематического накопления или перерасхода запасов. Если через Т обозначить время между двумя последовательными поставками, то обязательно выполнение равенства: Q = М • Т. Из сказанного выше следует, что работа склада происходит одинаковыми циклами длительностью Г и за время цикла величина запаса изменяется от максимального уровня S до минимального уровня s;
6. наконец, будем считать обязательным выполнение требования о недопустимости отсутствия запасов на складе, т.е. выполнение неравенства s > 0. С точки зрения уменьшения издержек склада на хранение отсюда вытекает, что s = 0, следовательно, S — Q.

Окончательно график идеальной работы склада в форме зависимости величины запасов у от времени t будет иметь вид, представленный на рис. 5.6.

Оценка деятельности склада дается по его затратам на пополнение запасов и их хранение. Расходы, не зависящие от объема партии, называют накладными: почтово-телеграфные, командировочные, некоторая часть транспортных и др. Накладные расходы обозначим через К. Издержки хранения запасов будем считать пропорциональными величине хранящихся запасов и времени их хранения. Издержки на хранение одной единицы запасов в течение одной единицы времени называются величиной удельных издержек хранения; обозначим их через h.

При изменяющейся величине хранящихся запасов издержки хранения за некоторое время Т получают путем умножения величины h на Т и на среднее значение величины запасов в течение этого времени Т. Таким образом, затраты склада за время Т при размере партии пополнения Q в случае идеального режима работы склада можно выразить следующим равенством:

После деления этой функции на постоянную величину Тс учетом равенства Q = М • Т получим выражение для величины затрат на пополнение и хранение запасов, приходящихся на единицу времени:

Это и будет целевой функцией, минимизация которой позволит указать оптимальный режим работы склада.

Найдем объем заказываемой партии (0, при котором минимизируется функция средних затрат склада за единицу времени, т.е. функция Z\(Q). На практике величины Q часто принимают дискретные значения, например из-за использования транспортных средств определенной грузоподъемности; в этом случае оптимальное значение (Qопт) находят перебором допустимых значений Q. Мы будем считать, что ограничений на принимаемые значения Q нет, тогда задачу на минимум функции Z\(Q) можно решить методами дифференциального исчисления:

Отсюда можно найти точку минимума Qопт:

Эта формула называется формула Уилсона по имени английского ученого-экономиста, который вывел ее еще в 20-х годах прошлого столетия.

Оптимальный размер партии, рассчитываемый по формуле Уилсона, обладает характеристическим свойством: размер партии Q оптимален тогда и только тогда, когда издержки хранения за время цикла Т равны накладным расходам К.

Действительно, если
то издержки хранения за цикл таковы:

И наоборот, издержки хранения за цикл равны накладным расходам в соответствии с уравнением:

В данном случае оптимальный размер партии определяется так:

Проиллюстрируем характеристическое свойство оптимального размера партии графически (рис. 5.7).

Из графиков видно, что минимальное значение функции Z\(Q) достигается при том значении Q, при котором равны значения двух других функций, ее составляющих.

Используя формулу Уилсона (5.10) с учетом сделанных ранее предположений об идеальной работе склада, можно получить ряд расчетных характеристик работы склада в оптимальном режиме. Так, оптимальный средний уровень запаса выразим уравнением:

Оптимальная периодичность пополнения запасов рассчитывается следующим образом:

Оптимальные средние издержки хранения запасов в единицу времени можно рассчитывать так: